NIM na jedné hromádce
Hra pro dva hráče, ve svém tahu mohou odebrat 1-3 předměty. Hráči se pravidelně střídají. Na začátku hry je na hromádce položeno 21 předmětů.
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
Kdo odebere poslední předmět, vyhrál. (normální varianta)
Strategie: Všechny pozice 4k jsou vyhrávající pro druhého hráče. Jsou-li na hromádce 1-3 předměty, první hráč je může odebrat (dostane se do nuly) a vyhrál (ex. vyhrávající strategie pro 1. hráče). Jsou-li na hromádce 4 předměty a mohou se odebírat nejvýše tři předměty, svým tahem se nemůže dostat do nulové pozice, tedy existuje vyhrávající strategie pro druhého hráče. Podobně i pozice 5-7 jsou vyhrávající pozice pro prvního hráče (kdo začíná, táhne do pozice, kde jsou 4 předměty),... Označme symbolem G(m) hru Nim, kde máme jednu hromádku a můžeme odebrat nejvýše m předmětů. Potom příslušná Sprague-Grundyho funkce na hromádce, kde je n předmětů, je gm(n) = n (mod m+1).
Je-li na hromádce nejvýše m předmětů, potom existuje vyhrávající strategie pro prvního hráče, sebere všechny předměty. Je-li na hromádce právě m+1 předmětů, potom existuje vyhrávající strategie pro druhého hráče; první hráč svým tahem může zahrát pouze do pozic, kde zbývá 1,2, ..., m předmětů. V následujících m pozicích vždy existuje vyhrávající strategie pro prvního hráče, zahraje svůj tah do pozice, kde zbývá m+1 předmětů. Až v pozici s 2m+2 existuje vyhrávající strategie pro druhého hráče, obecně v pozicích k(m+1) existuje vyhrávající strategie pro druhého hráče, jinak je pozice vyhrávající pro prvního hráče (důkaz indukcí).
NIM na třech hromádkách
Hra pro dva hráče, hráči se pravidelně střídájí v tazích. Na začátku hry jsou na třech hromádkách položeny předměty (kameny). V každém tahu hráč odebírá libovolný nenulový počet předmětů, ale vždy pouze z jedné hromádky. Kdo odebere poslední předmět, vyhrál.
x x x x x x x x x x x x x x x
Jak hrát a vyhrát?
Vyhrávající strategie je založena na tzv. nulových pozicích hry (kritické pozice), ve kterých existuje vyhrávající strategie pro druhého hráče.
Jak najít nulové pozice? Vezměne počty kamenů na jednotlivých hromádkách v desítkové soustavě a převedeme je do dvojkové soustavy. Takto upravená čísla sečteme operací Å. Dostaneme číslo x2. Ke všem původním číslům přičteme nyní číslo x2. Odečteme původní počet kamenů s těmito počty. Rozdíl je počet kamenů, které musíme odebrat, abychom se dostali do nulové pozice. Vidíme, že podstatnou roli zde hrají mocniny čísla 2.
Åx2 -
x x x 3 11 10 3 - 2 = 1
x x x x x 5 101 100 5 - 4 = 1
x x x x x x x 7 111 110 7 - 6 = 1
---
001=x2
Tedy prvním dobrým tahem je odebrat z nějaké hromádky jeden kámen.