Pro pohodlí čtenáře zopakujeme krátce základní definice Conwayových (nadreálných) čísel. Nadreálné číslo x je objekt tvořený dvojicí množin (mohou být i prázdné) nadreálných čísel nazývaných levá část x a pravá část x. Typické prvky (reprezentanty) označujeme xL, xR. Samotné číslo x označujeme x = { xL | xR }. Číslo x je sevřeno zleva xL a zprava xR.
Mnoho definic a tvrzení v této teorii je induktivních, konstruktivních. Zvláštností je, že některá tvrzení se musí dokazovat zároveň. Indukce nám z jedné strany pomáhá vytvářet objekty studia, z druhé strany umožňuje rozhodnout, zda daný objekt je objektem našeho zájmu.
Definujeme binární relaci ≤ mezi dvěma nadreálnými čísly x, y takto:
Pravidlo porovnávání: Pro libovolná nadreálná čísla x = { xL | xR } a y = { yL | yR } platí x ≤ y právě tehdy a jen tehdy, když y není menší ani rovno žádnému prvku xL, a současně žádný prvek yR není menší ani roven prvku x.
Říkáme x < y, právě tehdy když x ≤ y a současně y ¬≤ x.
Konstrukci nadreálných čísel vyslovíme pomocí relace ≤ takto:
Konstrukční pravidlo: Nechť L a R jsou dvě množiny nadreálných čísel a současně žádný prvek z R není menší ani roven žádnému prvku z L. Potom { L | R } je nadreálné číslo.
Definice není prázdná, číslo 0 = { | }, s oběma množinami L a R prázdnými, je nadreálné číslo. Číslo nula se nám bude hodit pro první indukční krok. Zatím vystačíme s obyčejnou (úplnou) matematickou indukcí. Až budeme pracovat s ordinálními čísly, budeme muset téměř bezbolestně přejít na transfinitní indukci přes tzv. den stvoření nadreálného čísla. Indukci na hrách (a tím i na číslech) se budeme věnovat později. Dokážeme nyní základní aritmetická pravidla.
Relace ≤ nám pomůže uspořádat nadreálná čísla. Ukážeme především, že tato relace je tranzitivní a že neexistují neporovnatelné prvky. Ve vyslovování tvrzení o nadreálných čísel si pomůžeme analogií s reálnými čísly.
Ukážeme, že definice ≤ není prázdná:
Lemma: 0 ≤ 0.
Důkaz: Protože 0L a 0R jsou prázdné, ¬∃x ∈ 0L, pro které 0 ≤ x a ¬∃x ∈ 0R, pro které x ≤ 0. Tedy podle definice 0 ≤ 0.
Věta (reflexivnost): Pro každé nadreálné číslo x platí x ≤ x.
Důkaz indukcí: První krok: Víme již, že platí 0 ≤ 0. (Indukční krok) Mějme dáno nadreálné číslo x, a pro každé a ∈ xL ∪ xR platí a ≤ a. Ukážeme, že platí x ≤ x. Nejdříve předpokládejme, že ∃a ∈ xL takové, že x ≤ a. Potom podle definice ¬∃b ∈ xL takové, že a ≤ b. Potom podle indukčního předpokladu a ∈ xL a a ≤ a. To je ale ve sporu s ¬∃a ∈ xL takové, že x ≤ a. Nyní předpokládejme, že ∃a ∈ xR takové, že a ≤ x. Potom podle definice ¬∃b ∈ xR takové, že b ≤ a. Potom podle indukčního předpokladu a ∈ xR a a ≤ a. To je také ale ve sporu s tvrzením ¬∃a ∈ xR takové, že a ≤ x. Odtud dostaneme, že ¬∃a ∈ xL takové, že x ≤ a, a ¬∃a ∈ xR takové, že a ≤ x. Podle definice tedy x ≤ x.
Nyní, když již víme, že relace ≤ je reflexivní, ukážeme, že x je zleva omezeno xL a zprava xR.
Věta: Pro každé a ∈ xL, a ≤ x.
Důkaz indukcí:
(První krok) Jsou-li 0L nebo 0R prázdné, tvrzení je triviálně splněno.
(Indukční krok) Předpokládejme, že pro všechna a ∈ xL platí ∀b ∈ aL b ≤ a. Nechť a ∈ xL. Chceme ukázat, že platí a ≤ x. Předpokládejme: ∃b ∈ xR b ≤ a. Protože ale b ∈ xR a a ∈ xL, podle definice čísla dostaneme b ¬≤ a. To ve sporu s ¬∃b ∈ xR b ≤ a.
Předpokládejme tedy ∃b ∈ aL x ≤ b. Podle indukčního předpokladu b ≤ a. Protože x ≤ b, dostaneme ¬∃y ∈ xL b ≤ y, a odtud a ∈ xL, nalezli jsme b ¬≤ a. To je ale v protikladu s ¬∃b ∈ aL x ≤ b.
Odtud plati ¬∃b ∈ xR b ≤ a a ¬∃b ∈ aL x ≤ b, tedy podle definice platí a ≤ x.
Věta: Pro každé a ∈ xR x ≤ a.
Důkaz indukcí, důkaz je analogický důkazu předcházející věty.
Z těchto vět tedy platí, že levé části jsou dolní a pravé části horní závorou.
Lemma: Pro každé nadreálné číslo x, x ¬∈ xL ani x ¬∈ xR.
Důkaz: Předpokládejme sporem x ∈ xL. Podle předcházející věty nutně ∃a ∈ xL x ≤ a. Protože ale x ≤ x, podle definice dostaneme také ¬∃a ∈ xL x ≤ a. To je spor platí x ¬∈ xL.
Druhý případ x ∈ xR vede také ke sporu.
Díky tomu můžeme také ukázat, že nadreálné číslo x je dokonce ostře větší než jeho levé části, a ostře menší než jeho pravé části.
Věta: Pro každé a ∈ xL a < x.
Důkaz: Nechť a ∈ xL a předpokládejme x ≤ a. Potom ¬∃y ∈ xL a ≤ y. Protože ale také a ∈ xL a a ≤ a, což je spor. Proto platí x ¬≤ a. Protože a ≤ x a x ¬≤ a, dostáváme z definice a < x.
Věta: Pro každé a ∈ xR x < a.
Důkaz: Je analogický předcházejícímu důkazu.
Věta: Pro každá dvě nadreálná čísla x a y platí x ≤ y nebo y ≤ x.
Důkaz indukcí:
První krok: 0 ≤ 0. (Indukční krok) Předpokládejme, že pro libovolná a,b ∈ xL ∪ xR platí a ≤ b nebo b ≤ a. Potom máme a ∈ xL ∪ xR ∪ { x }. Chceme dokázat platnost a ≤ x nebo x ≤ a. Předpokládejme, že a = x. Potom díky reflexivnosti relace ≤ obdržíme a ≤ a. Předpokládejme a ∈ xL. Potom a ≤ x. Konečně předpokládejme a ∈ xR. Potom x ≤ a.
Bezprostředním důsledkem je fakt, že pro každá dvě různá nadreálná čísla platí x < y nebo y < x.
Pomocí předcházející věty a reflexivnosti dokážeme také tranzitivnost relace ≤.
Věta: Pokud x ≤ y a y ≤ z, Potom x ≤ z.
Důkaz indukcí:
První krok: 0 ≤ 0.
(Indukční krok) Předpokládejme ∀a,b,c ∈ xL ∪ xR potom je-li a ≤ b a b ≤ c, pak také a ≤ c. Chceme dokázat, že vlastnost tranzitivnosti platí i pro a,b ∈ xL ∪ xR a x. Logicky mohou nastat tři možnosti:
(i) Předpokládejme a ≤ b a b ≤ x. Protože b ≤ x a b ∈ xL ∪ xR nutně b ∈ xL protože ∀y ∈ xR y ¬≤ x. Protože a ≤ b a ¬∃y ∈ xR y ≤ b, a ∈ xL. Odtud plyne a ≤ x.
(ii) Předpokládejme dále x ≤ a a a ≤ b. Z vlastnosti x ≤ a plyne a ∈ xR, protože ∀y ∈ xL x ¬≤ y. Protože a ≤ b a ¬∃y ∈ xL a ≤ y, b ∈ xR. A odtud x ≤ b.
(iii) Předpokládejme a ≤ x a x ≤ b. Z vlastnosti a ≤ x vyplývá a ∈ xL. Z vlastnosti x ≤ b dostaneme b ∈ xR. Víme z předcházející věty, že a ≤ b nebo b ≤ a. Podle konstruktivní definice obdržíme b ∈ xR a a ∈ xL, a odtud b ¬≤ a. Tedy musí platit a ≤ b.
Závěr: Třída nadreálných čísel je úplně (tj. lineárně) (pre)uspořádána relací ≤. Prozatím ale nemáme definovanou rovnost.
Prvním číslem je 0 = { | }, toto číslo jsme pojmenovali již dříve. Následovník (successor S) nám pomůže vytvářet některé další objekty. Objekty vytváříme induktivně, tj. po krocích. Nejdříve položíme S0 = { 0 } a Sn+1 je množina všech nadreálných čísel vytvořených pouze z množiny Sn (všech předcházejících, jednodušších, dříve vytvořených). Takže S1 = { { 0 | }, { | 0 } }.
Upozornění: { 0 | 0 } není nadreálné číslo, protože platí 0 ≤ 0. Množiny Si označujeme nejbližším ordinálním číslem, které prozatím ve výčtu nebylo. Nejmenší číslo α ve kterém se dané číslo objeví v Sα se nazývá dnem zrození čísla.
Co lze říci o těchto číslech? Protože 0 ∈ { | 0 }R, platí { | 0 } < 0. Analogicky díky 0 ∈ { 0 | }L, dostaneme 0 < { 0 | } . Protože { | 0 } < { 0 | }, můžeme psát jednodušeji { | 0 } < 0 < { 0 | }, a nebo ještě lépe položíme -1 = { | 0 } a 1 = { 0 | }, a dostaneme -1 < 0 < 1.
Pro motivaci budeme ještě potřebovat S2. Prozkoumáme vytvořená čísla: Dostali jsme { | -1 } < -1, také jsme ale dostali { | -1,0 } < -1. Nově vytvořená čísla mají tuto zajímavou vlastnost, a sice { | -1 } ≤ { | -1,0 } a { | -1,0 } ≤ { | -1 }. Můžeme nyní definovat i rovnost dvou nadreálných čísel takto:
Definice: x == y právě tehdy a jen tehdy, platí-li x ≤ y a y ≤ x.
Rychle nahlédneme, že tato relace rovnosti je ekvivalence. Tato ekvivalence indukuje rozklad na třídy ekvivalentních prvků. Označíme [x] třídu rozkladu nadreálných čísel ekvivalentních číslu x. Např. pro S1 máme [0] ∋ 0, { -1 | }, { -1 | 1 }, { | 1 }.
Množina S2 má právě sedm různých tříd ekvivalence, které se označují: -2, -1, -1/2, 0, 1/2, 1 a 2 a mají tyto vlastnosti:
Vidíme, že některá čísla ekvivalentní. Hodilo by se nám pravidlo pro zjednodušování jejich zápisů. Zde je jedna taková redukční věta:
Věta: Pro nadreálné číslo x, je-li b ∈ xL a a ≤ b, potom i x == { xL ∪ { a } | xR }.
Poznámka: Věta říká, že můžeme zleva jisté prvky odebírat (nebo přibírat), aniž bychom číslo změnili.
Důkaz:
Nechť a,b a x jsou nadreálná čísla taková, že b ∈ xL a a ≤ b. Nechť dále y = { xL ∪ { a } | xR }. Ukážeme, že x ≤ y a y ≤ x. Důkaz rozdělíme na několik případů:
(i-a) Nechť c ∈ yR. Protože yR = xR, je také c ∈ xR a odtud c ¬≤ x.
(i-b) Nechť c ∈ xL. Potom c ∈ xL ∪ { a } = yL, a tedy y ¬≤ c. Z tvrzení (i-a) a (i-b) dostáváme x ≤ y.
(ii-a) Nechť c ∈ xR. Protože xR = yR, také c ∈ yR a odtud c ¬≤ y.
(ii-b) Nechť c ∈ yL. Potom c ∈ xL nebo c = a. Je-li c ∈ xL, potom x ¬≤ c. Je-li c=a, potom podle našeho předpokladu c ≤ b a b ∈ xL. Předpokládejme x ≤ c. Platí c ≤ b díky tranzitivnosti x ≤ b. Protože b ∈ xL, získáváme x ¬≤ b. To je ale ve sporu s tvrzením x ¬≤ c. Díky (ii-a) a (ii-b) je také y ≤ x.
Z předcházejícího tvrzení plyne, že zleva můžeme vynechat všechna čísla menší než největší z nich. Například: { 0 | 1 } == { -1,0 | 1 } == { -2,0 | 1 } == { -2,1,0 | 1 }. Samozřejmě, že věta má pokračování a to tvrzení o redukci zprava:
Věta: Pro libovolné nadreálné číslo x, je-li b ∈ xR a b ≤ a, potom také x == { xL | xR ∪ { a } }.
Důkaz: Důkaz je analogický předcházejícímu důkazu.
Příklad: Číslo { 1, 2 | 5, 8, 11 } je ekvivalentní s číslem { 2 | 5 }-
Závěr: Pokud existuje levá horní závora a dolní pravá závora, můžeme všechny ostatní prvky vynechat a hodnota čísla se nezmění (tj. dostáváme stejnou třídu ekvivalence).
Při označování nadreálných čísel se budeme držet pravidla, aby označování (až na izomorfismus) korespondovalo s uspořádáním a s běžnými operacemi nulového a jednotkového prvku, sčítání a odčítání, násobení a dělení reálnými čísly (racionálními, celými a přirozenými čísly). Budeme požadovat, aby pro každá dvě reálná čísla operace dávaly stejný výsledek, jako s čísly nadreálnými (zúžení operací na reálná čísla).
Víme již, co znamená 0. Pomocí následovníka (successor S) induktivně definujeme: { n | } je následovník n. Konkrétně můžeme vytvořit řadu kladných celých čísel: 1 = { 0 | }, 2 = { 1 | },...
Číslo { 0 | 1 } označíme 1/2. Víme již, že skutečně platí 0 < { 0 | 1 } < 1. Dodefinujeme další operace a ukážeme, že 0 je nulovým prvkem, 1 jednotlovým a číslo { 0 | 1 } má vlastnosti předpokládané pro 1/2. Stejným postupem bychom dostávali i čísla (třídy rozkladu ekvivalence ==) tvaru m/2n pro každá celá m a n, dyadické zlomky v základním tvaru. [wiki].
S4 = { -4 < -3 < ... < -1/8 < 0 < 1/8 < 1/4 < 3/8 < 1/2 < 5/8 < 3/4 < 7/8 < 1 < 5/4 < 3/2 < 7/4 < 2 < 5/2 < 3 < 4 }
Jak již víme, tyto binární operace se definují takto:
Definice (sčítání):
x + y = { xL + y ∪ x + yL | xR + y ∪ x + yR }, kde pro množinu A a číslo x je A + x = { a + x | a ∈ A } a x + A = { x + a | a ∈ A }.
Definice (opačného prvku):
-x = { -xR | -xL }, kde pro množinu A, je -A = { -a | a ∈ A }.
Definice (násobení): xy = { (xLy + xyL - xLyL) ∪ (xRy + xyR - xRyR) | (xLy + xyR - xLyR) ∪ (xRy + xyL - xRyL) }.
Nechá se ukázat, že nadreálná čísla s takto definovanými operacemi je uspořádané komutativní těleso (ale není množinou).
Nula 0 je nulovým prvkem.
Věta: x + 0 = 0 + x = x.
Důkaz indukcí:
První krok: 0 + 0 = { 0L + 0 ∪ 0 + 0L | 0R + 0 ∪ 0 + 0R } = { { a + 0 | a ∈ 0L } ∪ { 0 + a | a ∈ 0L } | { a + 0 | a ∈ 0R } ∪ { 0 + a | a ∈ 0R } }. A odtud 0L a 0R jsou obě prázdné, 0 + 0 = { | } = 0.
(Indukční krok) Nechť x je nadreálné číslo a předpokládejme, že pro každé z ∈ xL ∪ xR 0 + z = z + 0 = z. Dokážeme, že x + 0 = 0 + x = x. Díky tomu, že obě 0L a 0R jsou prázdné, potom dostaneme x + 0 = { xL + 0 ∪ x + 0L | xR + 0 ∪ x + 0R } = { xL + 0 ∪ { x + a | a ∈ 0L } | xR + 0 ∪ { x + a | a ∈ 0R } } = { xL + 0 | xR + 0 } = { { a + 0 | a ∈ xL } | { a + 0 | a ∈ xR } }. Díky našemu indukčnímu předpokladu víme, že a + 0 = 0 + a = a, tedy x + 0 = { { 0 + a | a ∈ xL } | { 0 + a | a ∈ xR } } = { { a | a ∈ xL } | { a | a ∈ xR } } = { xL | xR } = x a odtud 0L a 0R jsou prázdné, x + 0 = { 0 + xL | 0 + xR } = { { a + x | a ∈ 0L } ∪ 0 + xL | { a + x | a ∈ 0R } ∪ 0 + xR } = { 0L + x ∪ 0 + xL | 0R + x ∪ 0 + xR } = 0 + x .
Sčítání je komutattivní:
Věta: x + y = y + x pro každá reálná čísla x a y.
Důkaz indukcí:
Nechť x a y jsou nadreálná čísla. První krok: x + 0 = 0 + x = x a y + 0 = 0 + y = y.
(Indukční krok) Předpokládejme, že pro všechna z ∈ xL ∪ xR ∪ yL ∪ yR platí x + z = z + x a y + z = z + y. Ukážeme, že platí x + y = y + x.
x + y = { xL + y ∪ x + yL | xR + y ∪ x + yR } = { x + yL ∪ xL + y | x + yR ∪ xR + y } = { { x + a | a ∈ yL } ∪ { a + y | a ∈ xL } | { x + a | a ∈ yR } ∪ { a + y | a ∈ xR } }, a tak podle indukčního předpokladu x + y = { { a + x | a ∈ yL } ∪ { y + a | a ∈ xL } | { a + x | a ∈ yR } ∪ { y + a | a ∈ xR } } = { yL + x ∪ y + xL | yR + x ∪ y + xR } = y + x.
Sčítání je asociativní:
Věta: Pro každá nadreálná čísla x,y,z platí x + (y + z) = (x + y) + z.
Důkaz:
Nechť x,y a z jsou nadreálná čísla. První krok: Díky tomu, že sčítání je komutativní, dostáváme 0 + (0 + 0) = (0 + 0) + 0.
(Indukční krok) Předpokládejme pro každé a ∈ xL ∪ xR ∪ yL ∪ yR ∪ zL ∪ zR platí: a+(x+y) = (a+x)+y, a+(y+z) = (a+y)+z, a+(x+z) = (a+x)+z, x+(a+y) = (x+a)+y, x+(a+z) = (x+a)+z, y+(a+z) = (y+a)+z, x+(y+a) = (x+y)+a, x+(z+a) = (x+z)+a, y+(z+a) = (y+z)+a. Dokážeme platnost: x+(y+z) = (x+y)+z. Zleva dostaneme x+(y+z) = { xL + (y+z) ∪ x + (y+z)L | xR + (y+z) ∪ x + (y+z)R } = { { a + (y+z) | a ∈ xL } ∪ { x + a | a ∈ (y+z)L } | { a + (y+z) | a ∈ xR } ∪ { x + a | a ∈ (y+z)R } } = { { a + (y+z) | a ∈ xL } ∪ { x + a | a ∈ { yL + z ∪ y + zL } } | { a + (y+z) | a ∈ xR } ∪ { x + a | a ∈ { yR + z ∪ y + zR } } } = { { a + (y+z) | a ∈ xL } ∪ { x + a | a ∈ yL + z } ∪ { x + a | a ∈ y + zL } | { a + (y+z) | a ∈ xR } ∪ { x + a | a ∈ yR + z } ∪ { x + a | a ∈ y + zR } } = { { a + (y+z) | a ∈ xL } ∪ { x + (a + z) | a ∈ yL } ∪ { x + (y + a) | a ∈ zL } | { a + (y+z) | a ∈ xR } ∪ { x + (a + z) | a ∈ yR } ∪ { x + (y + a) | a ∈ zR } }, (a díky indukčnímu předpokladu) = { { (a + y) + z | a ∈ xL } ∪ { (x+a) + z | a ∈ yL } ∪ { (x+y) + a | a ∈ zL } | { (a + y) + z | a ∈ xR } ∪ { (x+a) + z | a ∈ yR } ∪ { (x+y) + a | a ∈ zR } } = { { a + z | a ∈ xL+y } ∪ { a + z | a ∈ x+yL } ∪ { (x+y) + a | a ∈ zL } | { a + z | a ∈ xR+y } ∪ { a + z | a ∈ x+yR } ∪ { (x+y) + a | a ∈ zR } } = { { a + z | a ∈ xL+y ∪ x+yL } ∪ { (x+y) + a | a ∈ zL } | { a + z | a ∈ xR+y ∪ x+yR } ∪ { (x+y) + a | a ∈ zR } = { { a + z | a ∈ (x+y)L } ∪ { (x+y) + a | a ∈ zL } | { a + z | a ∈ (x+y)R } ∪ { (x+y) + a | a ∈ zR } } = { (x+y)L + z ∪ (x+y) + zL | (x+y)R + z ∪ (x+y) + zR } = (x + y) + z.
Invariance uspořádání ≤ vůči sčítání:
Věta: Pro každá nadreálná čísla x, y a z platí: pokud x ≤ y, potom x + z ≤ y + z.
Důkaz indukcí:
viz [OGAN].
Lemma: -(-x) = x.
Důkaz indukcí:
První krok: -(-0) = -0 = 0.
(Indukční krok) Nechť x je nadreálné číslo a nechť pro všechna a ∈ xL ∪ xR platí -(-a) = a. Potom: -(-x) = { -(-x)R | -(-x)L } = { { -a | a ∈ (-x)R } | { -a | a ∈ (-x)L } } = { { -a | a ∈ -xL } | { -a | a ∈ -xR } } = { { -(-a) | a ∈ xL } | { -(-a) | a ∈ xR } } = { { a | a ∈ xL } | { a | a ∈ xR } } = { xL | xR } = x.
Lemma: Jestliže x ≤ y, potom -y ≤ -x.
Důkaz indukcí:
První krok: 0 ≤ 0 a -0 ≤ -0. (Indukční krok) Nechť x,y jsou dvě nadreálná čísla, pro která platí x ≤ y. Předpokládejme, že pro všechna a ∈ xL ∪ xR, pro která a ≤ y, platí také -y ≤ -a. Chceme ukázat, že platí -y ≤ -x. (i) Nechť a ∈ (-x)R, pro které platí a ≤ -y. Potom -a ∈ xL, a-a ≤ x ≤ y. Podle indukčního předpokladu -y ≤ a. Případ (ii) a ∈ xL je obdobný.
Věta: Opačný prvek k nadreálnému číslu je nadreálné číslo.
Důkaz (indukcí):
První krok: -0 = 0. (Indukční krok) Nechť x je nadreálné číslo a předpokládejme, že pro každé a ∈ xL ∪ xR ¬∃y ∈ (-A)L z ∈ (-A)R z ≤ y. Nechť a ∈ (-x)L b ∈ (-x)R. Z definice opačného prvku je a ∈ -xR a b ∈ -xL. Tedy -a ∈ xR a -b ∈ xL. Odtud -b ≤ -a.
Prvek -x je levým i pravým opačným prvkem k prvku x:
Věta: x + (-x) == 0.
Důkaz indukcí:
První krok: 0 + (-0) = (-0) = { | } = 0.
(Indukční krok) Předpokládejme, že pro každé z ∈ xL ∪ xR ∪ -xL ∪ -xR platí z + (-z) == 0. Chceme dokázat, že x + (-x) == 0, tj. platí konjunkce (x + (-x)) ≤ 0, 0 ≤ (x + (-x)). x + (-x) = { xL + (-x) ∪ x + (-x)L | xR + (-x) ∪ x + (-x)R } = { xL + (-x) ∪ x + (-xR) | xR + (-x) ∪ x + (-xL) }.
(i) Předpokládejme, že ∃a ∈ xR a + (-x) ≤ 0. Potom díky indukčnímu předpokladu vlastně předpokládáme (-a + a) + (-x) ≤ -a + 0 , tedy 0 + (-x) ≤ -a a tedy -x ≤ -a. Protože ale a ∈ xR, platí -a ∈ -xL a z toho plyne -x ¬≤ -a. Což je ale spor ¬∃a ∈ xR a + (-x) ≤ 0.
(ii) Předpokládejme, že ∃a ∈ -xL x + a ≤ 0. Potom díky našemu indukčnímu předpokladu platí x + a + (-a) ≤ -a, x ≤ -a. Máme a ∈ -xL, odtud -a ∈ xL, protože -(-a) = a, a tedy x ¬≤ -a. Což je opět ve sporu s ¬∃a ∈ -xL x + a ≤ 0.
Podle (i) a (ii) platí ¬∃a ∈ (x + (-x))R a ≤ 0, protože 0L je prázdná množina. Dokázali jsme ¬∃a ∈ 0L (x + (-x)) ≤ a, a odtud (x + (-x)) ≤ 0.
Druhá polovina důkazu probíhá obdobně:
(iii) Předpokládejme ∃a ∈ xL 0 ≤ a + (-x). Pomocí našeho induktivnímu předpokladu platí -a + 0 ≤ (-a + a) + (-x), tedy -a ≤ 0 + (-x) a také -a ≤ -x. Současně ale platí i a ∈ xL, z čehož je evidentní -a ∈ -xR. Odtud jsme získali -a ¬≤ -x. Toto tvrzení je ale ve sporu ¬∃a ∈ xL 0 ≤ a + (-x).
(iv) Předpokládejme ∃a ∈ -xR 0 ≤ x + a. Díky našemu induktivnímu předpokladu -a ≤ x + a + (-a) a so -a ≤ x. Protože platí a ∈ -xR, platí i -a ∈ xR since -(-a) = a, a tedy -a ¬≤ x. Toto tvrzení je ve sporu ¬∃a ∈ -xR 0 ≤ x + a.
Z tvrzení (iii) a (iv) platí ¬∃a ∈ (x + (-x))L 0 ≤ a. Protože 0R je prázdná, dostali jsme ¬∃a ∈ 0R a ≤ (x + (-x)), a odtud 0 ≤ (x + (-x)).
Platí tedy 0 == (x + (-x)).
Máme nekonečně mnoho tvrzení, vět o nadreálných číslech, ale pouze konečně mnoho času... Proto naše vyšetřování vlastností operací ukončíme s tím, že ostatní důležité vlastnosti a jejich důkazy jsou uvedeny v prvních dvou kapitolách [OGAN]. V literatuře 'Hry a čísla' jsou uváděny tzv. jednořádkové důkazy - tato metoda je velmi efektivní. Z výše uvedených důkazů zase je lépe vidět metoda opírající se o tvrzení 'býti jednodušší'. Později ukážeme tzv. strategické důkazy, které budou ještě jednodušší.
K důkazu nějaké vlastnosti V(x,y) musíme induktivně předpokládat, že hypotéza V je pravdivá pro všechny levé a pravé části a jejich kombinace, tj. tato vlastnost platí pro V(xL,y), V(xR,y), V(x,yL), V(x,yR), V(xL,yL), V(xLL,yR), ... Díky tomu, že každé číslo je vytvořeno z ničeho, budeme první krok indukce často vynechávat. Indukcí se budeme ještě podrobně zabývat v jiném odstavci.
