Dokážeme, že √2 je iracionální číslo. Důkaz vedeme sporem: Předpokládejme naopak, že √2 je číslo racionální a nechá se napsat ve tvaru p/q v základním tvaru, tj. p, q ∈ Z, q ¬= 0, NSD(p,q) = 1. Potom 2 = p²/q², a tedy 2q² = p². Protože p² je sudé (mocnina lichého čísla je lichá), má tvar 2k. Počítejme znova 2 = (2k)²/q², po úpravě dostaneme q² = 2 k² a tedy i q je sudé. To je spor s předpokladem, že p a q jsou nesoudělná. Tedy √2 není racionální číslo. Protože √2 je reálné, musí být iracionální.

Použité metodě se také říká Reductio ad Absurdum. Pokud nebudeme předpokládat NSD(p,q)=1, dostáváme typickou ukázku důkazu nekonečného sestupu (Fermatova metoda Descente infinite). Jeden špatný případ (obě čísla v podílu sudá) vede na ještě špatnější (obě čísla dělitelná čtyřmi, osmi,...) a tak dále, vždy (jednodušších ve stylu nadreálných čísel), blíže nule. Takový klesající řetězec nutně v dobře uspořádaných množinách musí být omezen.

Odmocnina √2 souvisí s rovnoramenným pýthagorejským trojúhelníkem o odvěsnách 1. Odmocnině √2 se také říká přeponové číslo, stejně jako zlatému řezu. Dokážeme ještě jednou, že √2 není racionální číslo, tentokrát ale geometrickou cestou: Je-li √2 racionální číslo (sporem), potom existuje podobný trojúhelník s celočíselnámi stranami. V nejmenším takovém celočíselnému (q,q,p) najdeme menší celočíslenému (p-q,p-q,2q-p), což je spor. Nekreslete si příslušnáý obrázek! q.e.d. Číslo √2 je algebraické díky tomu, že je řešením rovnice x² = 2. Podobně se dokáže, že ani √6, nebo √2 + √3 atd. nejsou racionální čísla. Další racionální (a tím i iracionální) čísla můžeme dostat pomocí věty, která tvrdí, že racionální kořen polynomu závisí na pouze na prvním a posledním koeficientu (algebraické iracionality). Podrobnosti jsou uvedeny např. ve Sbírce úloh z algebry a teoretické aritmetiky V, Václav Vopravil, PF Ústí nad Labem, 1992, ISBN 80-7044-034-1. Například dokažeme, že ³√2 - √3 je iracionální. Myšlenka důkazu je taková, že nalezneme polynom s celočíselnými koeficienty a budeme diskutovat racionální kořeny. Takový polynom je např. normovaný x⁶ - 9x⁴ - 4x³ + 27x² - 36x - 23. Každý racionální kořen je celé číslo, které dělí -23. Odtud dostáváme, že původní číslo ³√2 - √3 je iracionální. Dokážeme, že sin 10° je iracionální. Vyjdeme z trigonometrické identity pro sin 3θ, tj. sin³ θ = 3 sin θ - 4 sin³ θ. Nyní nahradíme θ za 10° a použijeme substituci sin 30° = 1/2, dostaneme 1/2 = 3 sin 10° - 4 sin³ 10°. Nahradíme-li dále sin 10° za x, dostaneme 1/2 = 3x - 4x³, po úpravě 8x³ - 6x + 1 = 0. Tato rovnice nemá racionální kořen a tedy i sin 10° je iracionální.

Poznámky k číslu log₁₀3

Poznámky k číslu log₂3

zpět