Než-li začneme s vlastními konstrukcemi, uděláme tři obvyklé úmluvy:
uspořádaná dvojice a, b je (a,b) = {{a},{a,b}},
třída ekvivalence [a] = {b|a == b},
následovník s prvku a je s(a) = a ∪ {a}.
Konstrukce přirozených čísel N:
{ } ∈ N,
je-li a ∈ N, potom také s(a) ∈ N,
N je nejmenší možná netriviální množina, která splňuje předcházející dva axiómy.
Zapisujeme n = { 0, 1, ..., n - 1 }, kde 0 = { }, 1 = { 0 }, 2 = { 0, 1 }, 3 = { 0, 1, 2 }. Na vlastnosti množiny N upozorníme dolním indexem n, tj. třeba 2n znamená, že uvažujeme přirozené číslo 2.
Relace uspořádání <n na množině N je definována takto:
an <n bn právě, když an ∈ bn.
Definujeme +n takto:
an +n 0n = an,
an +n s(bn) = s(an +n bn).
Definujeme *n takto:
an *n 0n = 0n,
an *n s(bn) = (an *n bn) +n an.
Umocňování ↑n přirozených čísel definujeme takto:
an0n = 1n,
ans(bn) = anbn * an.
Konstrukce celých čísel Z:
Definujeme nejdříve relaci ekvivalence na N × N:
(an,bn) ==z (cn,dn) právě tehdy, když an +n dn =n cn +n bn.
Z = {[(an,bn)]z|an,bn ∈ N}. Na vlastnosti Z se opět odkazujeme indexem z.
Prvky množiny N mohou být vnořeny do Z takto:
vn: N → Z, pro které vn(an) = [(an,0n)]z.
Dále definujeme:
[(an,bn)]z <z [(cn,dn)]z právě, když an +n dn <n cn +n bn,
Poznámka: Relace ==z vyjadřuje vlastnost 'míti stejný rozdíl', množinu N jsme izomorfně rozšířili o opačné prvky. Formálně také lze zavést celá čísla jako přirozená čísla opatřená znaménky. Z je nejmenší uspořádaný okruh s jednotkovým prvkem. Z je nejmenší okruh, který obsahuje izomorfní část s množinou N.
Konstrukce racionálních čísel Q:
Definujeme nejdříve relaci ekvivalence na Z × (Z-{0z}) takto:
(az,bz) ==q (cz,dz) právě tehdy, když az *z dz =z cz *z bz.
Q = {[(az,bz)]q|az ∈ Z, bz ∈ Z-{0z}}. Opět použijeme index q pro vlastnosti množiny Q. Prvky množiny Z mohou být vnořeny do Q následovně:
vz: Z → Q, vz(az) = [(az,1z)]q.
Takové uspořádané dvojici (az,bz) říkáme také zlomek a píšeme obvykle az/bz.
Dále definujme:
[(az,bz)]q <q [(cz,dz)]q právě, když az *z dz <z cz *z bz,
Poznámka: Relace ==q vyjadřuje vlastnost 'míti stejný podíl', množinu Z jsme izomorfně rozšířili o převrácené prvky. Q je nejmenší uspořádané těleso.
Mohli jsme samozřejmě i postupovat jinak, a to zdokonalováním nejdříve operace násobení a potom operace sčítání, tedy N-{0} >> Q+ >> Q. Nebo rovnou: N >> Q, jak je ukázáno v práci O jedné konstrukci racionálních čísel.
Zatímco předcházející úvahy vedly na zdokonalování binárních operací, následující konstrukce povede na zdokonalení relace uspořádání.
Konstrukce reálných čísel R:
Konstrukce reálných čísel se liší od předcházejících konstrukcí; card(N) = card(Z) = card(Q) < card(R).
Množina c se nazývá dedekindovský řez právě tehdy, když
{ } ⊂ c ⊂ Q (ostrá inkluze!),
je-li aq ∈ c a bq <q aq, potom bq ∈ c (c je úplné zleva),
neexistuje takový prvek aq ∈ c, který bq <q aq pro každé aq¬=bq ∈ c (c nemá největší prvek).
Množinu všech dedekindovských řezů nazýváme reálná čísla R. Řez rozděluje číselnou osu na dvě části: dolní řez, který obsahuje čísla menší a horní řez s většími čísly. Vlastnosti reálných čísel opět zvýrazníme dolním indexem r. Racionální čísla mohou být vnořena do reálných čísel touto úvahou: Existuje zobrazeni
pokud ar ¬< 0r, br ¬<r 0r, potom ar *r br = 0r ∪ {cq *q dq| cq ∈ ar, dr ∈ br},
pokud ar <r 0r, br <r 0r, potom ar *r br = |ar|r * |br|r,
ve všech ostatních případech ar *r br = -r(|ar|r *r |br|r).
Častěji se používá zúplnění racionálních čísel pomocí desetinných rozvojů, které je založeno na cauchovských posloupnostech. Cauchyovská posloupnost p: N → Q, taková, že p(in) +q ((-1)q * p(jn) je libovolně blízko 0q, pro dostatečně velká in, jn. Definujeme relaci ekvivalence ==r na množině cauchovských posloupnostech jako:
a ==r b právě, když a(mn) +q ((-1q)*qb(mn)) je neomezeně blízko 0q, pro dostatečně velká mn.
R = {[a]r| a je cauchovská posloupnost}.
Příklad: Babylonská metoda (někdy také nazývána Newtonovou metodou) umožňuje hledání druhých odmocnin. Víme již, že odmocnina ze dvou není racionální číslo. Pro nalezení √ar zvolíme vhodně p(1n) jako první aproximaci (přiblížení) √ar, dále iterujeme
Nosič C je kartézský součin R × R. Opět na vlastnosti komplexních čísel se budeme odkazovat pomocí dolního indexu c. Prvky reálných čísel mohou být vnořeny zobrazením
Existuje mnoho dalších přístupů zavedení komplexních čísel. Například pomocí ideálů okruhu lze položit C = R[x]/{x *r x +r 1r}. Uzavřeme naše úvahy označením i2 = -1: x *r x +r 1r = 0r, tj. x *r x = (-1)r. Protože i*1 = i, geometricky násobením i získáváme otočení o 90°. Odtud opětovně získáváme i*i = -1. Zatímco v předcházejících úvahách se jednalo o translace po číselné ose, v případě komplexních čísel se jedná navíc o rotaci. Speciálně: budeme-li otáčet rovinu o 90° okolo bodu a ∈ C, posuneme nejdříve bod a do počátku z - a, otočíme kolem počátku i*(z - a) a posuneme zpět a + i(z - a). Komplexní čísla nelze rozumně uspořádat, tj. tak, aby byly v souladu s operacemi násobení a sčítání. Pokud by třeba bylo nenulové i bylo kladné, i*i by bylo také kladné (spor). Pokud by bylo i záporné, i*i by mělo být kladné (spor). Důvodem pro rozšiřování přirozených čísel byla řešitelnost rovnice ax + b = 0, zavedení komplexních čísel je motivováno řešitelností ryze kvadratické rovnice ax2 + b = 0, až na posunutí. Jiným možným rozšířením je uvažovat Diofantovy rovnice ax + by = c a jejich zobecnění.
S jistou opatrností můžeme dolní indexy vynechávat a s relací ekvivalence pracovat jako s rovností. Striktně ale řečeno N není podmnožinou Z, Z není podmožinou Q etc. Položme dále:
N' = vr • vq • vz • vn,
Z' = vr • vq • vz,
Q' = vr • vq,
a konečně R' = vr.
Potom pro tyto množiny získáváme obvyklé N' ⊂ Z' ⊂ Q' ⊂ R' ⊂ C.
Hasseuv diagram podrobně...
Kardinální a ordinální čísla:
Patří do ZF teorie množin, reprezentují mohutnost množin, resp. reprezentují dobře uspořádané množiny. Konečná kardinální a ordinální čísla mají stejné abstraktní vlastnosti, jako čísla přirozená. Zajímavá je spíše aritmetika nekonečných množin.
Komplexní čísla popisují body v rovině, kvaterniony popisují rotace ve třírozměrném prostoru. Dále se studují hyperreálná čísla (pojetí těchto čísel je velmi podobné používání nekonečně malých veličin, jako např. u Leibnize a Newtona), nadreálná čísla, p-adická čísla, tělesa zbytkových tříd .....a další a další čísla...
1 + 1 = 2?
Důkaz začneme pomocí Peanových axiómů, které popisují vlastnosti přirozených čísel N. Množina N je nejmenší možná množina, která vyhovuje těmto axiómům:
P1. 1 ∈ N.
P2. Pokud x ∈ N, potom následovník x' ∈ N.
P3. Neexistuje takové x, pro které x' = 1.
P4. Pokud x ¬= 1, potom existuje y ∈ N, pro které y' = x.
P5. Pro každou podmnožinu S ⊂ N, 1 ∈ S, a je splněna implikace
(x ∈ S ⇒ x' ∈ S) pro každé x ∈ N, potom S = N.
Sčítání se definuje rekurentně: Nechť a,b ∈ N.
pokud b = 1, potom definujeme a + b = a'
(využili jsme vlastnosti P1 a P2).
Pokud b ¬= 1, potom označíme c' = b (takové c, díky P4, je také v N), a definujeme a + b = (a + c)'.
Nyní budeme definovat 2 jako následovník 1, tedy platí: 2 = 1'.
Díky této definici a axiómům P1, P2, 2 ∈ N.
Věta: 1 + 1 = 2.
Důkaz: Použijeme první část definice sčítání pro a = b = 1. Potom 1 + 1 = 1' = 2. Q.E.D.
Poznámky: Peanovy axiómy se někdy vyslovují v podobě, že počátečním číslem je nula 0. Potom samozřejmě musíme i upravit Peanovy axiómy P1, P3, P4, a P5. Definici sčítání upravíme takto: Nechť a, b ∈ N.
Jestliže b = 0, pak definujeme a + b = a.
Jestliže ale b ¬= 0, označíme c' = b, c ∈ N, a definujeme a + b = (a + c)'.
Definujeme nyní 1 = 0', a 2 = 1'. Důkaz naší věty budeme trochu změněn:
Důkaz: Použijeme nejdříve druhou část definice sčítání:
1 + 1 = (1 + 0)'.
Nyní použijeme první část definice sčítání na předchůdce a dostaneme: 1 + 1 = (1)' = 1' = 2 Q.E.D.
Vrátíme se nazpět k naší první definici přirozených čísel. Součet 1n +n 1n lze zapsat díky definici 1n jako 1n +n s(0n). Díky druhé vlastnosti sčítání můžeme tento term zapsat také jako s(1n +n 0n). Protože podle první vlastnosti sčítání je 1n +n 0n = 1n, dostaneme 1n +n 1n = s(1n) = 2n, podle definice 2n. Q.E.D.
K Peanovým axiómům je třeba ještě dodat některá tvrzení (např. různá čísla mají různé následovníky, různá čísla mají různé předchůdce, ke každému nenulovému číslu existuje právě jeden předchůdce atd.), ale to je již pouze technická záležitost, která není nyní v našem zorném poli. Dobře uspořádaná množina N je charakterizována svým prvním prvkem, všechny ostatní prvky mají předchůdce a N nemá poslední prvek. Čeho si ale všimneme především: definice operace sčítaní a násobení jsou pokaždé různé, stejná čísla vznikají opětovně, získáváme konstrukcemi komutativní monoid, polookruh, okruh, komutativní těleso, uspořádané těleso, ... Struktura čísel se nejenom rozšiřuje, ale také zjemňuje; k některým číslů se dostáváme iterativními metodami, extralopací a interpolací. Některé vlastnosti čísel jsou definovány rekurzivně. Číslům přidáváme různá adjektiva, označování čísel je různé... Některé obraty v konstrukcích se opakují (např. uspořádání přirozených čísel a reálných čísel). Všechny konstrukce (natolik rozdílné) přeci jen mají společnou vlastnost - vycházejí z uspořádaných dvojic. J. H. Conway své objekty studia nazývá ale prostě pouze čísla.
Rozšiřování racionálních čísel na reálná čísla vyžadovalo požadavek zachování archimédovského uspořádání. Racionální čísla ale můžeme rozšiřovat i jinak, třeba o algebraická čísla. O vlastnostech populárně informuje server A. Bogomolneho (A. Bogomolny, What's a number? from Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles
http://www.cut-the-knot.org/do_you_know/numbers.shtml, Accessed 05 December 2010)
.
Nestandardním rozšiřováním racionálních čísel o nekonečně velké a malé veličiny se v polovině minulého století zabývali také Laugwitz a Schmieden. O nestandardní analýze a hyperreálných čísel lze získat informace také na Mathforum.