Nadreálná reálná čísla
Vytvoříme model reálných čísel v rámci nadreálných čísel. Jinými slovy popíšeme podtřídu třídy nadreálných čísel, které mají stejné vlastnosti, jako čísla reálná.
Standardně se reálná čísla zavádějí pomocí tzv. Dedekindových řezů, nebo pomocí Cauchyovských posloupností racionálních čísel. Conwayova čísla "zaplňují prázdný prostor" mezi ordinálními čísly! Reálná čísla jsou největší množinou, která je archimedovsky uspořádaná (důsledek je ten, že žádné číslo není nekonečně veliké).
Mějme nadreálné číslo x = { xL | xR }. Nyní vytvoříme nové číslo z mezi všemi xL a xR tak, aby xL < z < xR. Pokud takové číslo neexistuje, položíme z = x. V ostatních případech položíme z = x takové, že z je nejjednodušší číslo. Otázkou zůstává, co rozumíme slovem nejjednodušší?
Pro neprázdné L a R, jistě platí, že xL < x < xR. Číslo z je potom nejjednodušší ve smyslu vznikání čísel, tj. den narození má mezi všemi ostatními nejmenší (tedy je nejmladší, benjamínek).
Příklad: Mějme číslo { 1, 2 | 4, 5 } a hledejme z. Číslo z je větší než 1 i 2 a menší než 4 i 5. Tuto podmínku splňuje například i číslo 7/2. Ale je, jakožto nadreálné číslo, 7/2 = { 3 | 4 }. Ovšem 3 také leží mezi levými a pravými čísly čísla { 1, 2 | 4, 5 }, ale žádná subhra (díky prázdné množině a definici čísla 3) tuto vlastnost nemá. Tedy hledané číslo z je 3.
Nyní přistoupíme k definici celého čísla. Celé číslo je nadreálné číslo nejjednoduššího tvaru, je vytvořeno pomocí celých čísel a buď L, nebo R má prázdnou.
{ 2, 3 | } je celé číslo a { | -1, -2 } je také celé číslo apod.
Množina všech nadreálných reálných čísel x = { xL | xR } je tvořena následovně: Existuje celé číslo z takové, že -z < x < z a
V rámci nadreálných čísel není rozdíl mezi kladnými a zápornými čísly, je to pouze věcí konvence. Není podstatný rozdíl mezi celými a racionálními čísly pouze vymezujeme podmnožinu ze všech možných nadreálných čísel, které mají odpovídající vlastnosti. Definice nadreálných reálných čísel se redukuje na vlastnosti prázdné množiny a otázku, zda číslo vyhovuje omezující podmínce, tj. zda číslo je "toho správného" tvaru. Všechna čísla (N, Z, Q, R) v rámci třídy No ale vznikají najednou.
Podmínku pro tvar reálných čísel můžeme vyslovit i jinak, číslo x je omezeno nějakým celým číslem, a platí:
Obě dvě (levá i pravá) části čísla x jsou sice nekonečné, ale pro číslo x používáme aproximaci v nějaký konečný den. Nejedná se o nic jiného, než o binární (decimální) rozvoj nadreálného reálného čísla x.
V matematice je k pojetí reálných čísel často velmi různorodý přístup. Několik různých možných přístupů shrnují přiložené slajdy. Pár historických souvislostí je shrnuto na těchto stránkách: remarks of real numbers.