Úvod do teorie kombinatorických her

.: -o- :. Nadreálná čísla (Surreal Numbers, translate)

Těleso reálných čísel R může být abstraktně charakterizováno jako dedekindovsky úplné uspořádané těleso.

Conwayova metoda konstruování struktury čísel zobecňuje dedekindovské řezy. Jeho základní myšlenkou je konstrukce: Nechť L a R jsou dvě množiny čísel a žádný prvek L není větší roven žádnému prvku z R, potom  { L | R }  je číslo. Všechna čísla jsou tvořena pouze tímto způsobem. Konstrukce začne od 0 = { | }. Pokračováním získáme postupně spočetnou množinu všech dyadických čísel tvaru m2-n. Postupujeme-li transfinitně dále, nalezneme všechna reálná čísla R, ale také komutativní 'těleso' No všech nadreálných čísel, tj. vlastní třídu, kde prvky splňují pravidla tělesa. Prvky tělesa No se nazývají nadreálná čísla (surreal numbers). Dvojici { L | R }, vytvořenou těmito pravidly, nazýváme také Conwayovým řezem. Speciálním případem získáme Dedekindovy řezy.

Ve skutečnosti budeme ale pracovat pouze se dvěma kardinálními čísly: alef 0 a c, stejně jako Vopěnkova Alternativní teorie množin.

Podle axiomu extenzionality v ZFC, jsou všechny prázdné množiny ekvivalentní. To má také dva pěkné důsledky: Je nula skutečně číslem? Respektive: Je prázdná množina množinou?

Máme-li nějaký systém bez nulového prvku, potom stačí adjungovat nulu k tomuto systému, tedy v Cayleyho tabulce doplnit řádek a sloupec, který kopíruje záhlaví. Vyšetřujeme-li aditivní vlastnosti přirozených čísel, často požadujeme, aby nula byla prvkem přirozených čísel. Při vyšetřování multiplikativních vlastností (např. dělitelnost přirozených čísel) je vhodné nulu nezahrnovat do přirozených čísel. Navíc platí i slavná Goedelova věta O nerozhodnutelnosti (nemožnosti axiomatizace matematiky).

Běžně se v matematice zaměnuje slovo číslo nekvalifikovaně, jako prvek tělesa C, komplexních čísel. Potom ale jistě 0 element C. Historicky ale vzato, starověcí Římané, ani Řekové nepřipouštěli nulu, narozdíl od třeba Mayů, Indů a Sumerů, kteří pro nulu měli i znak. Vzhledem ke geometrickému pojetí matematiky, ani záporná čísla se nepoužívala. Například Pýthagoras sice objevil √2, ale až Cardano zavedl čísla záporná, tj. až za dva tisíce let poté! Kronecker vyslovil známou větu "Celá čísla jsou od Boha". Nepochybně tím měl na mysli kladná přirozená čísla a celá čísla opatřená znaménkem, plus a mínus. Trikem můžeme zavést celá čísla jako třídy ekvivalence uspořádaných dvojic přirozených čísel, jak je obecně známo. Potom ale třída { (1,1), (2,2), (3,3), ... } = 0. Walis první použil symbol ∞ pro nekonečno. Teprve až Leibniz zavádí dvojkovou poziční soustavu. Peano zavádí axiomaticky přirozená čísla, ale bez nuly. Robinson zavádí hyperreálná čísla *R a Conway prozkoumávání reálných čísel završuje. Nadreálná čísla (Surreal Numbers) jsou největším nearchimédovsky uspořádaným tělesem, které zahrnuje jak reálná čísla, tak i ordinální čísla. Nadreálná čísla jsou vlastní nadtřídou ordinálních čísel.

              |----->  "Eudoxusova" čísla
|
Přirozená --> celá --> racionální --> reálná --> komplexní
| |
| |----> hyperreálná <- oba systémy obsahují
| | jak infinitesimální, tak
| |----> nadreálná i transfinitní čísla.
|---> p-adická

Pokud bychom zakázali prázdnou množinu, měli bychom hluboké problémy s nulou. Z axiomu regularity plyne, že každá množina je vytvořena pomocí prázdné množiny. Každá množina má prázdnou množinu za svůj prvek. Pokud bychom nechtěli připustit nulu, museli bychom zakázat i axiom regularity atd.

Prvky seznamu označujeme nultý, první, druhý, třetí, atd., podle pravidla, že následující číslo označuje celkový počet předmětů v našem souhrnu. Podle Cantorovy teorie ordinálních čísel lze čísla uspořádat: 0, 1, 2, ... jak je obvyklé, potom následuje ω, ω + 1, ω + 2, ..., dále ω + ω + 1, atd. Na tomto označování je důležité především to, že vždy bezprostředně následující prvek je ten, který ještě ve výčtu není; n = { 0, 1, 2, ..., (n - 1) }. Cantor definuje ω jako první číslo větší než všechna konečná čísla, zapisujeme ω = { 0, 1, 2, ... | }, kde svislou čarou označujeme, kde jsme s naším výčtem skončili. Obecněji používáme označování { a, b, c, ... | } jako nejdřívější ordinální číslo po a, b, c,... . Například { 0, 1 | } = 2, { 0 | } = 1, { | } = 0, nebo { 0, 1, 2, ... | } = ω, { 0, 1, 2, ..., ω | } = ω + 1, ω + 2, ...

V matematice s konečnými čísly neděláme rozdíl mezi například 'dvacetjedna, dvacet a jedna, jednadvacet', 'dvacetdva a dvaadvacet', 'dvacettři a třiadvacet',..., což ale s nekonečnými čísly nejde, tj. neplatí komutativnost sčítání ordinálních čísel, tj. děláme např. rozdíl mezi 1 + ω a ω + 1. Nemělo by nás to překvapit! Když k číslu { | } přidáme spočetné množství 0, 1, 2, ..., můžeme tento seznam opět označit čísly 0, 1, 2, ... , což ale v případě ω + 1 nelze; ω + 1 = { 0, 1, 2, ..., ω | } je větší než ω.

Ani násobení ordinálních čísel není komutativní. Zatímco 2 × ω znamená, že vezmeme prvek { 0, 1 | } a opakujeme ho, nedostaneme nic jiného, než ω. Naopak { 0, 1, 2, ... | } × 2 = { 0, 1, 2, ... | } + { 0, 1, 2, ... | } = { 0, 1, 2, ..., ω, ω + 1, ω + 2, ... | } = ω + ω. Opakujeme-li toto vytvořující pravidlo, dostaneme ω × 3 = ω + ω + ω, ... , ω × ω = ω2, ω3, ..., ωω, ..., ωωω, ...

Ordinální číslo množiny nezáleží jenom na prvcích samých, ale také na jejich uspořádání. Vezmeme-li nejdříve všechna sudá přirozená čísla a potom všechna lichá přirozená čísla po sobě jdoucí, mužeme je označit číslem ω + ω. Vezmeme-li nejdříve všechna nenulová sudá přirozená čísla a potom všechna lichá přirozená čísla po sobě jdoucí a přidáme nakonec nulu, mužeme je označit číslem ω + ω + 1. Přeskupíme-li přirozená čísla tak, že napíšeme do seznamu nejdříve čísla dělitelná třemi, potom čísla se zbytkem jedna a čísla se zbytkem dva, můžeme dostat dokonce ω × 3 atd.